Bruchgleichungen

Einführung in das Thema / wichtige Begriffe und Regeln im Überblick

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Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.

Beispiel


3
x
1
=
5
x
(2x+3)

Lösung


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Bei einfachen Bruchgleichungen kommt man oft schon dadurch weiter, dass man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

a / b = c / d      | Kehrwerte bilden

b / a = d / c

Beispiel


5
3x
2
=
1
4

Lösung


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Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)

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Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert beide Seiten mit beiden Nennern. Dadurch verschwinden beide Nenner aus der Gleichung:

Beispiel


Löse die Gleichung:
3x
1
2x
+
3
=
6x
2
4x

Lösung


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Überkreuzmultiplizieren mit den vollständigen Nennern führt evtl. zu einer quadratischen Gleichung (d.h. x² kommt darin vor), für die vorläufig noch keine Lösungsformel zur Verfügung steht.

Besser ist da folgende Technik: Das kleinste gemeinsame Vielfache aller vorkommenden Brüche bestimmen und dann beide Seiten der Gleichung damit multiplizieren. Nach dem Kürzen hat man dann eine nennerfreie Gleichung.

Beispiel


5
+
7x
2
4x
6
=
2x
(9-6x)

Lösung


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Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b1 und b2 schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b1(x) = b2(x).

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