Trigonometrie - Sinussatz und Kosinussatz - Matheaufgaben

Winkel, Seiten und Flächen in beliebigen Dreiecken berechnen; auch Anwendungsaufgaben

Hilfe
  • Liegt der gegebene Winkel der kleineren der gegebenen Seiten gegenüber, so gibt es zwei Lösungen. In diesem Fall ergänzen sich die beiden Lösungen zu 180°.
  • Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

    sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Berechne die fehlende Größe mit Hilfe des Sinussatzes. Vorsicht: Es können zwei Lösungen stimmen!

  • Skizze:
     
    		graphik
    Gesucht ist das Maß des Winkels β :
    Es gibt nur eine Lösung
     
          
     
    Es gibt zwei Lösungen
    β ≈
         
     
     
    25,69°
     
    154,31°
     
        
     
     
    36,77°
     
    143,23°
     
        
     
     
    41,28°
     
    138,72°
     
        
     
     
    43,47°
     
    136,53°
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Gemäß dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche eines beliebigen Dreiecks:

A = 0,5 · a · b · sin(γ) = 0,5 · a · c · sin(β) = 0,5 · b · c · sin(α)

Man benötigt für die Flächenbestimmung also die Längen zweier (beliebiger) Seiten und deren Zwischenwinkel.
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Kosinussatz gilt:

a² = b² + c² − 2bc · cos(α)

b² = a² + c² − 2ac · cos(β)

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Am besten, man merkt sich den Satz so:

"(beliebige) Seite zum Quadrat = Summe der anderen beiden Seitenquadrate minus 2 mal Produkt dieser Seiten mal cos vom Zwischenwinkel"

Beispiel
Das folgende Video zeigt anhand eines Beispiels, wie man den Kosinussatz anwendet.

In Sachaufgaben kannst du folgendermaßen vorgehen:

  1. Suche in der Figur nach Dreiecken mit mindestens drei gegebenen Stücken. (Tipp: Markiere in einer Skizze die gegebenen Stücke grün und die gesuchten Stücke rot.)
  2. Je nach Art der gegebenen Stücke kannst du nun den Sinus- oder den Kosinussatz verwenden:
    • Eine Strecke und zwei Winkel gegeben: Der dritte Winkel ergibt sich aus der Winkelsumme, die fehlenden Strecken aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und der Zwischenwinkel gegeben: Die dritte Strecke ergibt sich aus dem Kosinussatz, die fehlenden Winkel aus dem Sinussatz.
    • Zwei Strecken und ein anderer Winkel gegeben: Die weiteren Winkel ergeben sich aus dem Sinussatz und der Winkelsumme, die fehlende Strecke aus dem Kosinussatz.
    • Drei Strecken gegeben: Ein Winkel kann mit dem Kosinussatz berechnet werden, die restlichen mit dem Sinussatz bzw. aus der Winkelsumme.
Tipp: In rechtwinkligen Dreiecken werden Sinus- und Kosinussatz nicht benötigt, da du einfacher mit dem Sinus, Kosinus und Tangens bzw. dem Satz von Pythagoras arbeiten kannst.
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Beispiel
Das erste Beispiel in folgendem Video zeigt, wie man den Sinussatz anwendet.
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1. Level3 Aufgaben
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