Stochastik - Erwartungswert und Standardabweichung der Binomialverteilung - Matheaufgaben

Zusammenhang von n, p, μ und σ bei binomialverteilten Zufallsgrößen; Bestimmung von p aus dem Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens σ, 2σ usw. vom Erwartungswert abweicht

Hilfe
  • Lies die Höhe der Balken möglichst präzise (auf 0,001 genau) ab und bestimme damit den Erwartungswert.

Das Diagramm beschreibt die die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße X. Bestimme p. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • graphik
    (n = 5)
    p
     
    ≈
     
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In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
P
 
μ
−
2σ
 
≤
 
X
 
≤
 
μ
+
2σ
 
≈
 
?%

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

  • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
  • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
  • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

  • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
  • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
  • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.
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