(a) Gib für g eine andere Gleichung in Parameterform an, die weder im Ortsvektor noch im Richtungsvektor mit der Gleichung oben übereinstimmt.
(b) Gib eine Gleichung an für die Gerade h, die parallel zu g ist und durch den Punkt (1|2|-5) geht.
(c) Gib eine Gleichung an für eine Gerade i, die senkrecht zu g steht und g in einem beliebigen Punkt schneidet.)
Lösung zu (a)
Einen alternativen Ortsvektor (Stützvektor) erhält man, indem man für μ einen beliebigen Parameterwert ≠ 0 in die Geradengleichung einsetzt, z.B. μ = 1:
X
=
2
2
−
3
+
1
·
−
1
1
2
=
1
3
−
1
Wenn man jetzt noch die Koordinaten des Richtungsvektors verdoppelt (oder verdreifacht...), erhält man einen alternativen, aber die gleiche Richtung vorgebenden Richtungsvektor mit den Koordinaten -2, 2 und 4. Eine mögliche Lösung für (a) lautet damit
g
:
X
=
1
3
−
1
+
μ
·
−
2
2
4
Lösung zu (b)
Der Richtungsvektor kann, da h || g, von g übernommen werden. Ein geeigneter Ortsvektor ergibt sich aus dem vorgegebenen Punkt, also
h
:
X
=
1
2
−
5
+
μ
·
−
1
1
2
Lösung zu (c)
Man benötigt lediglich einen Richtungsvektor, der zum Richtungsvektor von g senkrecht steht. Der Richtungsvekor von g hat als zweite Koordinate den Wert 1 und als dritte den Wert 2. Vertauscht man die zweite und dritte Koordinate und nimmt von einer die Gegenzahl, erhält man mit 0 als erste Koordinate einen senkrechten Vektor (gefärbt), wie man mit Hilfe des Skalarprodukts nachrechnen kann:
−
1
1
2
∘
0
−
2
1
=
0
Verwendet man als Stützvektor (Aufpunkt) der Geraden i denselben wie bei g, so erhält man folgende Lösung für i:
i
:
X
=
2
2
−
3
+
μ
·
0
−
2
1
Lernvideo
Geraden im Raum, Parameterform, Parallele und Senkrechte, Beispiel
