Ein 2,5 dm hoher Kegel hat eine Grundfläche, deren Durchmesser 16 cm beträgt. Berechne die Oberfläche des Kegels.
O ≈
?cm
2
Lösung:
Der gegebene Kegel sieht folgendermaßen aus (nicht maßstabsgetreu):
Grundfläche
Die Grundfläche ist ein Kreis mit Radius 8 cm.
G
=
A
Kreis
=
π
·
r
2
=
π
·
8
2
=
64
π
cm
2
Mantelfläche
In der Formel für den Mantelflächeninhalt taucht die Länge der Mantellinie s auf. Diese kann mithilfe des Satzes von Pythagoras aus dem gegebenen Radius und der Höhe berechnet werden:
r
2
+
h
2
=
s
2
s
=
r
2
+
h
2
s
=
8
2
+
25
2
=
689
cm
Damit ergibt sich für die Mantelfläche:
M
=
π
·
r
·
s
=
8
·
689
·
π
cm
2
Oberfläche des Kegels
O
=
G
+
M
=
64
π
+
8
689
π
≈ 860,77
cm
2
Erklärung und Vertiefung
Die Mantelfläche ist abgewickelt ein Kreissektor mit Radius s und Mittelpunktswinkel α. Die Länge der Mantellinie s kann - sofern sie nicht gegeben ist - mithilfe des Satzes von Pythagoras aus Radius und Höhe berechnet werden.
Der Mittelpunktswinkel α kann über die Bogenlänge b des Kreissektors ermittelt werden. Es gilt:
b
=
2π
·
s
·
α
360
(Bogenlänge eines Kreissektors mit Radius s und Mittelpunktswinkel α)
und
b
=
2π
·
r
(da die Bogenlänge des Mantels dem Umfang der Kegelgrundfläche entspricht)
Durch Gleichsetzen beider Formeln ergibt sich folgender Zusammenhang:
2π
·
s
·
α
360
=
2π
·
r
:
2π
·
s
α
360
=
r
s
Für den Flächeninhalt der Mantelfläche ergibt sich damit die Formel:
