Die Funktion f mit
hat die Nullstelle
Bestimme die weiteren Nullstellen.
Zur Bestimmung der Nullstellen ist folgende Gleichung zu lösen:
Diese Gleichung kann nur mithilfe der Polynomdivision gelöst werden (und nicht durch Äquivalenzumformungen, Faktorisieren oder mithilfe der pq-Formel).
Da die Nullstelle x0 = 2 schon bekannt ist, ergibt sich daraus der Linearfaktor (x − 2) als Divisor.
1. Schritt: Teile die höchste Potenz des Dividenden (oben markiert) durch die höchste Potenz des Divisors (ebenfalls markiert).
Multipliziere dieses Teilergebnis mit dem Divisor und ziehe das Ergebnis vom vorderen Teil des Dividenden ab:
Die letzte Rechnung führt man normaler Weise im Kopf aus. Die schriftliche Rechnung sieht bis hierhin so aus:
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
-------------
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
2. Schritt: Hole den nächsten Summanden herunter:
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und wiederhole das Vorgehen. Die schriftliche Rechnung von oben bis hierhin ergänzt:
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Wiederhole die Schritte 1-3 so lange bis der Rest 0 ist. Die komplette schriftliche Rechnung sieht dann so aus (das Ergebnis der Polynomdivision markiert):
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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---------------
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
Bemerkung: Hier im Beispiel werden die Summanden schrittweise "heruntergeholt" (wie bei der schriftlichen Division). Bezieht man die Subtraktion in jedem Teilschritt auf den gesamten Funktionsterm, dann werden alle Summanden auf einmal "heruntergeholt". Das Ergebnis der Polynomdivision bleibt bei beiden Vorgehensweisen gleich.
- Lösen der quadratischen Gleichung:
Zu lösen ist die Gleichung:
pq-Formel:
In diesem Fall hat die Funktion f also insgesamt zwei Nullstellen. Die bekannte:
die eine doppelte Nullstelle ist, und die weitere Nullstelle: