Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
Kanal: Mathegym
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:
cos(α) = x und sin(α) = y
Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
| = | ? |
| = | ? |
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt
überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
cos |
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|
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cos |
|
|
|
cos |
|
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel | Spiegelung von P | Vorzeichenänderung | Formeln |
−α bzw. 360° − α |
an der x-Achse | nur sin | sin(α) = − sin(360° − α) cos(α) = cos(360° − α) |
180° − α | an der y-Achse | nur cos | sin(α) = sin(180° − α) cos(α) = − cos(180° − α) |
α ± 180° | am Ursprung | sin und cos | sin(α) = − sin(α ± 180°) cos(α) = − cos(α ± 180°) |
α ± 360° | P verändert sich nicht | sin(α) = sin(α ± 360°) cos(α) = cos(α ± 360°) |
Beispiel 1
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
| = | 0,7 |
Beispiel 2
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 3
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Folgende Sinus- und Kosinuswerte sollte man (wie Vokabeln) auswendig lernen:
- sin(0°)=0
- sin(30°)=0,5
- sin(45°)=0,5√2
- sin(60°)=0,5√3
- sin(90°)=1
Die Kosinuswerte sind dazu spiegelbildlich: cos(0°)=1, ..., cos(90°)=0
Merkhilfe: die Werte von oben nach unten ergeben sich, indem man 0,5 mit √0, √1 usw. multipliziert.
Beispiel
sin x | = |
|
Bestimme alle Lösungen im Intervall
| π. |