Logarithmus - Exponentialgleichung und Rechenregeln
Einfache Exponentialgleichungen (Benutzung des Taschenrechners), Vereinfachung logarithmischer Terme mit Hilfe von Rechenregeln
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Exponentialgleichung und Logarithmus
Kanal: Mathegym
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Logarithmus Rechenregeln
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Um logb a ohne Taschenrechner zu ermitteln, muss man fragen: "b hoch wieviel ist a?"
Beispiel: log3 9 = 2, weil 32 = 9
Die Exponentialgleichung (Exponent gesucht!) bx = a besitzt die Lösung x = logb a.
Gesprochen: "Logarithmus von a zur Basis b"
Um logb a zu berechnen, gib in den Taschenrechner ein:
log a : log b
Summen und Differenzen von Logarithmen mit gleicher Basis lassen sich zusammenfassen:
logb x + logb y = logb (x · y)
logb x − logb y = logb (x : y)
Achtung: Für Produkte und Quotienten zweier Logarithmen gibt es keine entsprechende Formel!
Lassen sich Basis und Argument des Logarithmus als Potenz derselben Basis schreiben, so kann man den Logrithmuswert ohne Taschenrechner bestimmen.
Beispiel
| = | ? |
Sind in der Gleichung
logb a = c
a oder b gesucht, so übersetzt man sie in die Exponentialgleichungbc = a
und löst im Fall "b gesucht" noch nach b auf.
logb ar = r · logb a
Die Regel ist viele Schülern unter "Lasso-Regel" geläufig, da man den Exponenten sozusagen mit einem Lasso einfängt und vor das "r" stellt.
Liegt die Exponentialgleichung in der Form
bT1(x) = bT2(x) [ T1(x) und T2(x) sind x-Terme ]
vor, so kann x auch ohne Logarithmus gelöst werden. Setze dazu einfach gleich:T1(x) = T2(x)
Ist die Basis des Logarithmus eine Potenz br, so lässt sich der Logarithmus wie folgt umformen:
log br (a) = log b (a1/r)
Beispiel
Vereinfache.
| = | ? |
Exponentialgleichungen, in denen nur eine Potenz (und sonst kein weiteres x) vorkommt, lassen sich in die Form
aT(x)=b
bringen [mit T(x) ist ein x-Term wie z.B. x+3 gemeint]. Sofern b>0, kann man anschließend auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis a anwenden, womit man die GleichungT(x)=logab
erhält, die nach x aufgelöst werden kann.
Beispiel
Löse die Gleichung.
| = |
|
Beispiel
Löse die Gleichung:
| = |
|
Um Summen oder Differenzen von Potenzen (mit x im Exponent) zu vereinfachen, kann man versuchen, mit Hilfe der Potenzregeln gleiche Potenzen herzustellen.
Beispiel
Löse die Exponentialgleichung.
| = |
|