Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken - Matheaufgaben

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, u.a. mit Lösungsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können

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Funktionale Abhängigkeit.

Gegeben ist die Parabel
p
:
y

=
−
0,5
·
x
+
2

2

+
4

sowie die Punkte A(-5|-3) und B(3|-1).
Der Punkt C(x|-0,5(x+2)²+4) wandert auf der Parabel p.

(1)
Zeichne die Parabel für x ∈ [-5;2] sowie die Dreiecke ABC₁ für x₁=-4 und ABC₂ für x₂=-2 in dein Heft. Für das Koordinatensystem gilt: -6≤x≤3 und -3≤y≤5. Zur Kontrolle deiner Zeichnung:
C₁C₂ ≈

cm

Der linke Parabelast schneidet die x-Achse im Intervall

.

(2)
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC₁.
A_ABC₁ =

(3)
Der Flächeninhalt A(x) aller Dreiecke lässt sich in Abhängigkeit von x wie folgt darstellen:
A(x)
=

(4)
Das Dreieck ABC₀ hat von allen Dreiecken den größten Flächeninhalt. Dieser beträgt:
A
max

=

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Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym

Merke:

a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1

Löse die Gleichung

−

Beispiel 2

Löse die Gleichung:

−

Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel 1

Löse die Gleichung:

−

Beispiel 2

Löse die Gleichung

−

Faktorisieren mit dem Rechteckmodell (Satz von Vieta)

Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:

Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
"Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.

Beispiel

Löse die quadratische Gleichung, indem du zunächst den quadratischen Term faktorisierst. Das Rechteck-Modell kann helfen.

10x

−

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel

Löse die Gleichung

−

Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn

x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
→ nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
→ alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern

Beispiel

Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):

−

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.

Beispiel

Löse die Gleichung

−

10x

Satz von Vieta: Die quadratische Gleichung in Normalform

x² + px + q = 0

besitzt die beiden Lösungen x₁ und x₂, falls

x₁ + x_{2 = −p und}
x₁·x_{2 = q}

Beispiel

Löse mit Hilfe des Satzes von Vieta:

−

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Beispiel 1

Löse die Gleichung

−

Beispiel 2

Löse die Gleichung.

−

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

a² + 2ab + b² = (a + b)²
a² − 2ab + b² = (a − b)²
a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel

Löse durch Faktorisieren:

−

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form

(x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
(x − 3)² = 0 nur die Lösung 3

Beispiel

Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

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