Ganzrationale Funktionen - Nullstellen ablesen - Matheaufgaben

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren

Hilfe
  • Achte auf die Nullstellen (insbesondere schneidet der Graph oder berührt er die x-Achse?), den Verlauf an den Rändern (von links unten/oben nach rechts unten/oben und auf den Schnittpunkt mit der y-Achse.

Setze f(x) aus den passenden Faktoren zusammen.

  • graphik
    −
    0,02
    x
    +
    5
     
       
     
    x
    +
    5
    2
    x
    −
    5
     
       
     
    x
    −
    5
    2
    x
    +
    3
     
       
     
    x
    +
    3
    2
    x
    −
    3
     
       
     
    x
    −
    3
    2
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)
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Ganzrationale Funktionen (Teil 2)

Kanal: Mathegym
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel 1
Löse die Gleichung
 
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
Beispiel 2
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
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