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  • Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
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Bestimme die Ableitung und vereinfache diese so, dass dein Term unten nachgebildet werden kann.

  • f
     
    x
    =
    2x
    3
    +
    4x
    2
    6
    2x
     
    x
    =
    +
    x
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Ableitung von x^n
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Ableitung von x^n

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Ableitung von x^n  - Beweis
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Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f (x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Die Ableitung von a·xn ist a·n·xn−1. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
  • Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
  • Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
x
4
x
5
+
4x
 
+
 
x
+
 
1
 
1
graphik
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
3x
+
5
0,5x
 
x
=
?