Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion - Matheaufgaben

Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen

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  • Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

    cos(α) = x und sin(α) = y

    Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.

Entscheide anhand des Einheitskreises, welcher Wert plausibel ist.

  • graphik
    cos 200° ≈ 
     
    −
    0,3
       
     
    0,1
       
     
    −
    0,9
       
     
    0,7
    sin 200° ≈ 
     
    −
    0,3
       
     
    0,5
       
     
    −
    0,7
       
     
    0,9
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion

Kanal: Mathegym
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

cos(α) = x und sin(α) = y

Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
 
450°
=
?
cos
 
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt 
cos
31°
 überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
   
cos
149°
   
−
cos
211°
   
cos
121°

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vorzeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α		 an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7
Beispiel 2
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 3
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Folgende Sinus- und Kosinuswerte sollte man (wie Vokabeln) auswendig lernen:
  • sin(0°)=0
  • sin(30°)=0,5
  • sin(45°)=0,5√2
  • sin(60°)=0,5√3
  • sin(90°)=1

Die Kosinuswerte sind dazu spiegelbildlich: cos(0°)=1, ..., cos(90°)=0

Merkhilfe: die Werte von oben nach unten ergeben sich, indem man 0,5 mit √0, √1 usw. multipliziert.

Beispiel
sin x
=
−
1
2
 
2
Bestimme alle Lösungen im Intervall 
−
π
 
≤
 
x
 
≤
 
π.
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