Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

    Vorgehen:

    Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
    Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

    1. Erraten einer Nullstelle x0
      Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

    2. Polynomdivision
      Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
      f(x)=q(x)·(x−x0)

    3. Lösen der quadratischen Gleichung
      Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man mit Hilfe der Mitternachtsformel evtl. bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).

Löse durch Polynomdivision. (Gib Potenzen in der Form a^b ein.)

Die Funktion f mit
f(x)
=
x
3
3x
2
x
+
3
hat die Nullstelle
x
0
=
1
Bestimme die weiteren Nullstellen.
x
1
=
 
die kleinere
x
2
=
 
die größere
  • Nebenrechnung

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