Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken
Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, u.a. mit Lösungsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können
Quadratische Gleichungen
- a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
- b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
- c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:
D = b² − 4ac
Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):
x1,2 = (−b ± √D) : 2a
| = | 0 |
| = |
|
| = |
|
| = |
|
Faktorisieren mit dem Rechteckmodell (Satz von Vieta)
Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:
- Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
- "Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.
| = | 0 |
| = | ? |
| = | ? |
Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:
D = (p/2)² − q
Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):
x1,2 =-p/2 ± √D
| = | 0 |
- x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
→ nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" ! - keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
→ alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
| = | 0 |
| = | 0 |
| = | 0 |
Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:
D = b² − 4ac
- Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
- Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
- Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.
ax² + bx + c = 0
gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
| = | 14 |
x2 + px + q = 0
besitzt die beiden Lösungen x1 und x2, falls- x1 + x2 = −p und
- x1·x2 = q
| = | 0 |
| = | 0 |
| = | 0 |
Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:
- a² + 2ab + b² = (a + b)²
- a² − 2ab + b² = (a − b)²
- a² − b² = (a + b) (a − b)
In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.
| = | 0 |
- (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
- (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3