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Binomische Formeln

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Berechne mithilfe der binomischen Formeln ohne Taschenrechner:
53
2
=
?
29
2
=
?
38
·
42
=
?
Beispiel 2
Multipliziere.
a
+
1
2
=
?
 
     
 
3
b
2
=
?
 
     
 
11
+
c
·
11
c
=
?
Beispiel 3
Multipliziere.
3
7
+
y
2
=
?
 
     
 
1,5x
2
3
2
=
?
 
     
 
q
2
+
1
6
·
q
2
1
6
=
?
Beispiel 4
Multipliziere.
6
 
x
+
2
 
y
2
=
?
 
     
 
a
3
3
 
b
2
=
?
 
     
 
d
+
2
 
3
·
d
2
 
3
=
?

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel 1
Faktorisiere (wenn möglich).
49x
2
4
9
=
?
Beispiel 2
Löse durch Faktorisieren:
x
2
1
9
=
0
Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
  • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
  • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)
Beispiel
Mache die Nenner rational.
2
3
=
?
 
     
 
5
3
+
5
=
?
Die Normalform eines Wurzelterms erfüllt zwei Bedingungen:
  1. Die Zahl unter der Wurzel ist quadratfrei, enthält also keinen quadratischen Teiler.
  2. Unter dem Bruchstrich stehen keine Wurzeln.
Beispiel
Bringe
 
1
2
 
in Normalform.
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