Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
  • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
  • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
  • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
  • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).
Beispiel 1
Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.
graphik
Beispiel 2
Bestimmen evtl. auftretende Null- und Polstellen und charakterisiere diese näher.
f(x)
=
x
2
9
4
 
x
3
3x
2
+
x
Der Zählergrad z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und der Nennergrad n bestimmen darüber, was für Asymptoten der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion (außer den senkrechten Asymptoten, die bei Polstellen vorliegen) evtl. noch enthält:
  • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
  • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
  • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
  • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
Beispiel
Liegen waagrechte/schräge Asymptoten vor? Wenn ja, bestimme deren Gleichung.
f(x)
=
2x
2
3x
1
2
g(x)
=
2x
2
·
1
x
3x
1
h(x)
=
2x
3x
1
2
i(x)
=
2x
2
3x
1
Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:
  • Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
  • Binomische Formeln
  • Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta
Eine Definitionslücke ist (anders als bei einer Polstelle) behebbar, wenn der "problematische" Faktor im Nenner herausgekürzt werden kann. Zur näheren Bestimmung von Nullstellen, Polstellen und (evtl. behebbaren) Definitionslücken sollte man also wie folgt vorgehen:
  1. Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisieren
  2. Definitionsmenge bestimmen: ALLE auftretenden Faktoren im Nenner, die Null werden können, liefern eine Definitionslücke (ganz gleich, ob man sie herauskürzen kann oder nicht)
  3. Definitionslücken näher spezifizieren: behebbar, wenn herauskürzbar; ansonsten Polstelle
  4. Nullstellen bestimmen: nur solche Faktoren im Zähler, die nicht herausgekürzt werden können, liefern Nullstellen der Funktion.
Beispiel
Bestimme evtl. auftretende Nullstellen und Definitionslücken und charakterisiere diese näher.
f(x)
=
4
6x
9x
3
4x
Beispiel
Untersuche die folgende rationale Funktion hinsichtlich evtl. Defintionslücken, Polstellen, Nullstellen sowie Asymptoten und skizziere anhand der gewonnenen Informationen den Graph.
f(x)
=
2x
3
8x
6x
2
3x
3
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