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Exponentielles Wachstum (Teil 1)
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Exponentielles Wachstum (Teil 2)
Beim linearen Wachstum ist der absolute Zuwachs in gleichen Zeitschritten konstant, d.h.
  f(t+1) − f(t) = d (absolute Zunahme pro Zeitschritt)

Beim exponentiellen Wachstum ist der relative Zuwachs konstant, d.h.
  f(t+1) : f(t) = a (Wachstumsfaktor)

Bezogen auf eine Wertetabelle heißt das:
  • Bei linearem Wachstum ist die Differenz d = f(t+1) − f(t) benachbarter Funktionswerte konstant.
  • Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient a = f(t+1) : f(t) benachbarter Funktionswerte konstant.
Unterscheide zwischen Wachstum (d > 0 bzw. a > 1) und Abnahme (d < 0 bzw. 0 < a < 1)
Beispiel 1
Handelt es sich um lineares oder exponentielles Wachstum (oder weder noch)?
(a)     
 
x
1
2
3
4
5
y
1
3
2
3
1
1
3
2
2
3
5
1
3
 
(b)     
 
x
1
2
3
4
5
y
1
3
1
2
3
3
4
1
3
6
Beispiel 2
Ergänze so, dass es sich um exponentielles Wachstum handelt.
x
1
2
3
4
5
y
5
7
?
?
0,245
?
Verdoppelungszeit tD nennt man die (bei exponentiellem Wachstum konstante) Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt.

Halbwertszeit tH nennt man die (bei exponentieller Abnahme konstante) Zeit, in der sich der Bestand halbiert.

Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
  • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) + n ·d
    d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.

  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.
  • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) ·kn
    k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
Beispiel
  • Exponentielles Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 2,5% zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
  • Lineares Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 25 zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Schreibe in der Form
 
f(x)
=
b
·
a
x
 
:
f(x)
=
1
5
6
·
2
1
x
Beispiel 2
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung
 
y
=
b
·
a
x
 
. Bestimme an und b.
graphik
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel 1
Skizziere die Graphen folgender Funktionen :
f(x)
=
5
·
1,1
x
 
     
 
g(x)
=
2
·
0,7
x
 
     
 
h(x)
=
2
3
·
x
Beispiel 2
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
x
 
   streng monoton?
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
  • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
  • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
  • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
  • Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent

Beim exponentiellen Wachstum ist der relative Zuwachs konstant, d.h.
  f(t+1) : f(t) = a (Wachstumsfaktor)

Bezogen auf eine Wertetabelle heißt das:
  • Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient a = f(t+1) : f(t) benachbarter Funktionswerte konstant.
Unterscheide zwischen Wachstum (a > 1) und Abnahme (0 < a < 1)
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43 Mathe-Aufgaben zum Theme "Exponentielles Wachstum - Wertetabelle, Graph, Funktion"
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