Differenzierbarkeit und Ableitungsfunktion
Untersuchung von abschnittsweise definierten Funktionen und Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit; Zusammenhang zwischen f, f´ und F (Stammfunktion) anhand von Graphen
Ableitung einer Funktion
Graph der Ableitung skizzieren
Graph einer Stammfunktion skizzieren
Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:
f´(x) | f bzw. Gf |
> 0 | streng monoton zunehmend bzw. wachsend |
< 0 | streng monoton abnehmend bzw. fallend |
= 0 | waagrechte Tangente |
Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).
| > 0, |
| < 0, |
| > 0, |
| < 0? |
| = | 0, |
| = | 0? |
Die Funktion F ist genau dann eine Stammfunktion von f, wenn F´ = f (wenn also f die Ableitung von F ist). Damit gilt folgender Zusammenhang
F bzw. GF | f (x) |
streng monoton steigend | > 0 im betrachteten Intervall |
streng monoton fallend | < im betrachteten Intervall |
keine Steigung (waagrechte Tangente) | = 0 |
F → f → f´
Ihre Graphen stehen in folgendem Zusammenhang:
F bzw. f | f bzw. f´ |
streng monoton steigend | verläuft oberhalb der x-Achse |
streng monoton fallend | verläuft unterhalb der x-Achse |
waagrechte Tangente | schneidet/berührt die x-Achse |
- Ermittle den Bereich, in dem der zugehörige Graph oberhalb oder auf der x-Achse liegt. Wenn kein Graph gegeben ist, löse dazu die Ungleichung T(x) ≥ 0.
- Im ermittelten Bereich kann | T(x) | durch T(x) ersetzt werden, d.h. die Betragsstriche können hier einfach weggelassen werden.
- Im restlichen Bereich muss anstelle der Betragsstriche ein Minuszeichen vor den umklammerten Term gesetzt werden.
|
[ f(a+h) − f(a) ] / h
für h → 0 (h ≠ 0) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.
[ f(x) − f(a) ] / (x − a)
für x → a (x ≠ a) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.
| = |
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