Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren, Linearkombination und Länge von Vektoren
Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
- auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
- auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
- auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
- in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
- in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
- in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
- x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
- x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
- x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
- der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
- der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
- der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
| = |
|
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also
b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3
Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
| ; |
|
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
| , |
| = | AD
|
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
| = | AD
|
|