Ableitung und Monotonie
Bestimmung von Monotonieintervallen anhand des Graphen und mit Hilfe der ersten Ableitung
Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:
f´(x) | f bzw. Gf |
> 0 | streng monoton zunehmend bzw. wachsend |
< 0 | streng monoton abnehmend bzw. fallend |
= 0 | waagrechte Tangente |
Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).
| = |
|
Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton steigend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)<f(b).
Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton fallend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)>f(b).
Mit Monotonieintervall ist jeweils das größtmögliche Intervall innerhalb von Df gemeint, in dem eine strenge Monotonie vorliegt.