Ableitung - Produkt- und Quotientenregel
Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen
Produktregel:
Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)
Beispiel
| = |
|
| = | ? |
Kettenregel:
Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)
Beispiel 1
| = |
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| = | ? |
Beispiel 2
| = |
|
| = | ? |
Produktregel:
Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)
Quotientenregel:Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2
Beispiel 1
| = |
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| = | ? |
Beispiel 2
| = |
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| = | ? |
Quotientenregel:
Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2
Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
| = |
|
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.
f ′(x) = a · m · x m−1.
Spezialfälle:
- f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
- f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0
Beispiel
| = |
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| = | ? |
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
| = |
|
| = | ? |