Ist der Funktionsterm f(x) gegeben, lässt sich der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ auf verschiedene Arten ermitteln; am Beispiel f(x) = 1/x:

  • indem man den Graphen skizziert; hier ergibt sich die bekannte Hyperbel mit der x-Achse als waagrechte Asymptote, also geht 1/x gegen 0.
  • durch Überlegung, hier die Überlegung "ein Bruch mit festem Zähler wird (vom Betrag her) beliebig klein, wenn der Nenner nur groß genug ist".
  • mit Hilfe einer Wertetabelle, z.B. setzt man hier in den Term 1/x der Reihe nach die x-Werte 10; 100; 1000; 10 000 (stellvertretend für x → ∞) ein und stellt fest, dass sich die entsprechenden y-Werte 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 immer weniger von 0 unterscheiden.

Handelt es sich bei f(x) um eine Summe, so kann der Limes von f(x) oft dadurch bestimmt werden, dass man den Limes der Summanden einzeln bestimmt und die Ergebnisse addiert. Geht zum Besipiel der erste Summand gegen a und der zweite gegen b, so geht f(x) gegen a+b. Sofern dabei ∞ auftritt, beachte folgende Regeln (in Anführungszeichen schreiben!):

"c + ∞" = ∞
"c + (-∞)" = -∞

Soll heißen: Wenn ein Summand gegen c geht und der andere gegen ∞, dann geht f(x) gegen ∞. Zweite Zeile analog.

Genauso kann man bei Differenzen, Produkten und Quotienten verfahren. Beachte im Zusammenhang mit ∞ die Regeln:

"c − ∞" = -∞
"∞ − c" = ∞
"c · ∞" = ±∞   [+ wenn c positiv; − wenn c negativ]
"∞ : c" = ±∞ [+ wenn c positiv; − wenn c negativ]
"c : ∞" = 0

KEINE Regel gibt es für folgende Fälle. Hier muss man den Term evtl. umformen, um den Limes richtig zu ermitteln:

"∞ − ∞" = ?
"∞ : ∞" = ?
"0 · ∞" = ?
Beispiel
l i m
x → -∞
 
1000
1
3
·
x
3
=
?

Der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ gibt an, wie sich die Funktion am äußeren rechten/linken Rand des Definitionsbereichs, also für "sehr, sehr große/kleine" x-Werte verhält:

Fall Der Funktionswert Der Graph Limes
Konvergenz ...nähert sich einem Wert c an, d.h. |f(x) − c| wird beliebig klein ...besitzt die waagrechte Asymptote y = c = c
bestimmte Divergenz ...wird beliebig groß bzw. beliebig klein, d.h. er überschreitet/unterschreitet jede noch so große/kleine Marke ..."verabschiedet sich Richtung Himmel/Hölle" = ± ∞
unbestimmte Divergenz weder die erste noch die zweite Zeile treffen zu existiert nicht
Beispiel
Bestimme aufgrund der Abbildung:
l i m
x → ∞
 
f(x)
 
        
 
l i m
x → -∞
 
f(x)
 
        
 
l i m
x → -∞
 
g(x)
graphik
Wenn f(x) für x → ∞ gegen c konvergiert, so bedeutet dies, dass |f(x) − c| kleiner als jede noch so winzige positive Zahl ε ist - wenn x nur groß genug gewählt wird.

Wie groß x dafür sein muss, ermittelt man mit Hilfe der Ungleichung

|f(x) − c| < ε

Beispiel
f(x)
=
2x
3
5
x
3
Ermittle den Grenzwert für x → ∞ und gib an, für welche positiven x-Werte sich der Funktionswert vom Grenzwert um weniger als 0,01 unterscheidet.
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