Integral - Berechnung mit Stammfunktion
Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt
∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C
Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.
Spezialfall n = -1:
∫ 1/x dx = ln |x| + C
Beispiel 1
Gib eine Stammfunktion für
an.
| = |
|
Beispiel 2
Gib eine Stammfunktion für
an.
| = |
|
- Stammfunktionen von sin, cos und exp:
∫ sin (x) dx = − cos (x) + C
∫ cos (x) dx = sin (x) + C
∫ ex dx = ex + C
- Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):
∫ f ( ax + b ) dx
Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a)
| = |
|
a)
| = |
|
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:
f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|
Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a)
f(x) | = |
|
b)
f(x) | = |
|
c)
f(x) | = |
|