Stochastik - Bernoullikette und Binomialverteilung
Kennzeichen eines Bernoulliexperiments und einer Bernoulli-Kette, Bestimmung der zugehörigen Parameter, Binomialverteilung bei vorgegebenen Parametern, Textaufgaben
Binomialkoeffizienten
Der Binomialkoeffizient gibt in Bernoulli-Ketten die Anzahl der Pfade an, bei n Durchführungen genau r Treffer zu erhalten.Dies wird bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten benötigt.
Schreibweise:
- wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
- Gelesen: "n über r"
- Zähler: n · (n-1) · (n-2) · ... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
- Nenner: 1 · 2 · 3 · ... · r [ebenfalls r Faktoren]
- Kürzen (bis der Nenner 1 ist!), dann verbliebenen Zähler berechnen.
| = | ?
|
Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:
Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.
- "Erfolg -- Nichterfolg"
- "Treffer -- Niete"
- "0 -- 1".
- Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).
Bernoulli-Kette der Länge n:
- Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
- Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit pr · qn-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
- In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.
Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!
Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.
Antwort: | ? % (gerundet auf eine Dezimale) |
Bernoulli Formel:
Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:
Bn,p = P(X=r) = (nr) · pr · (1 − p)n-rWahrscheinlichkeit für genau vier Einser: | ?% |
Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen: | ?% |
Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.
Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:
Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.
Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:
Bn,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:
Fn,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)Bei vielen Experimenten, z.B. Ziehen mehrerer Kugeln mit einem Griff oder hintereinander ohne Zurücklegen, liegt keine Bernoullikette vor, daher kommen hier andere Formeln zur Anwendung.
| 0,95 |