Quadratische Gleichungen - Schnittprobleme
Graphische Interpretation quadratischer Gleichungen; Bestimmung der Schnittpunkte von Parabeln bzw. Parabel und Gerade; Parameterbestimmung in Abhängigkeit von der Anzahl gemeinsamer Punkte
Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Nullform ax² + bx + c = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = b² − 4ac bekommt man die Antwort:
- D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
- D = 0 ⇔ eine Berührstelle
- D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
p: y | = |
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g: y | = |
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p | a |
| = |
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| = |
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p | a |
- - - b) - - -
g | m |
| = |
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| = |
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Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = (p/2)² − q bekommt man die Antwort:
- D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
- D = 0 ⇔ eine Berührstelle
- D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
r: y | = |
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g: y | = |
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p | a |
| = |
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| = |
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p | a |
- - - b) - - -
g | m |
| = |
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| = |
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| = |
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Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.
| = |
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| = |
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Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.
Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:
- D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
- D = 0 ⇔ eine Berührstelle
- D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
- Scheitelpunktform: forme die Gleichung um in (x+...)2=... und radiziere dann auf beiden Seiten
- Nullstellenform: die Nullstellen können ohne weitere Rechnung abgelesen werden