Zentrische Streckung
Zentrische Streckung einer Figur bei gegebenem Zentrum Z und Streckungsfaktor k. Ermittlung von Z und k anhand gegebener Figur und Bildfigur; Eigenschaften der zentrischen Streckung
Zentrische Streckung
Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:
- Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
- Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
- Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
- Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.
Was uns der Streckfaktor k sagt...:
- k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
- k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
- |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
- |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
- Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
- Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.
Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
- Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
- k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
- k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
- Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
| = |
|
a)
k | = | 0,5 |
b)
k | = |
|
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor
und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
A'B'
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
- Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
- Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
- Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Parabel
soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel ?
p: y | = |
|
k | = | 2 |
p'
Beispiel 2
Die Gerade
soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden ?
g: y | = |
|
k | = | 0,5 |
g'
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
- Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
- Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
- Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
- Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor .
k
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1),
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
k | = | 4 |
Beispiel 3
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1),
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
k | = | 2 |