Stochastische Prozesse I - Prozessdiagramm und Übergangsmatrix
Darstellung mit Prozessdiagramm und Übergangsmatrix, Rechnen mit Prozessdiagrammen, stochastische Matrix erkennnen
Stochastische Matrizen
Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.
Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.
Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:
- U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
- In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
- In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
- Summe der Spalteneinträge von U ist 1.
Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.
Stochastische Prozesse
Zufallsvorgänge mit endlich vielen Zuständen lassen sich grafisch durch Prozessdiagramme darstellen.
- Ein Endzustand heißt absorbierend und wird am Ringpfeil mit der Übergangswahrscheinlichkeit 100% =1 erkannt.
- Alle anderen Zustände sind innere Zustände. Bei diesen ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller abgehenden Pfeile gleich 1 (sofern im Diagramm ALLE möglichen Zustände berücksichtigt werden).
Die Zustandsverteilung fasst zusammen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die verschiedenen Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt besetzt sind.
Der stochastische Prozess umfasst die Folge der Zustandsverteilungen eines Prozessdiagramms.