Potenzfunktionen - natürlicher Exponent
Funktionen mit Funktionsterm a·xn; Bestimmung der Parameter
Lernvideo
Potenzfunktionen vom Grad n
Kanal: Mathegym
Bei einer Potenzfunktion mit der Funktionsgleichung y=axn entscheidet die Hochzahl n zusammen mit dem Vorfaktor a, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
- n ungerade, a positiv (z.B. 5x³): Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
- n ungerade, a negativ (z.B. -2x): Graph verläuft von links oben nach rechts unten.
- n gerade, a positiv (z.B. ½x²): Graph verläuft von links oben nach rechts oben.
- n gerade, a negativ (z.B. -x²): Graph verläuft von links unten nach rechts unten.
Beispiel
Wie verläuft der Graph?
y | = |
|
Potenzfunktionen sind Funktionen der Form:
y = axn
Spezialfälle:
y = axn
Spezialfälle:
- n = 0 (konstante Funktion): y = a, Graph: waagerechte Gerade
- n = 1 (lineare Funktion): y = ax, Graph: Ursprungsgerade mit Steigung a
- n = 2 (quadratische Funktion): y = ax2, Graph: gestauchte / gestreckte Parabel mit Scheitel S ( 0 | 0 )
- Wertemenge:
n gerade: keine negativen Zahlen
n ungerade: alle reellen Zahlen
-
Symmetrie:
n gerade: Achsensymmetrie zur y-Achse
n ungerade: Punktsymmetrie zum Ursprung
-
Vorfaktor a
Der Wert des Parameters a ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
a>0: Streckung / Stauchung in y-Richtung
a<0: zusätzliche Spiegelung an der x-Achse
Beispiel
Gib die zugehörige Funktionsgleichung an
y | = |
|
Beispiel
Das erste Beispiel in folgendem Video zeigt, wie man die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion durch zwei Punkte ermittelt, wenn einer der beiden Punkte die x-Koordinate 1 hat.
Wenn von einem Punkt auf dem Schaubild nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.
Wenn von einem Punkt auf dem Schaubild nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und aus der entstehenden Gleichung x bestimmt. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Wenn von einem Punkt auf dem Schaubild nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und aus der entstehenden Gleichung x bestimmt. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Die Graphen-Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen der Art a·xn erhält man, indem man der Reihe nach...
- (wie üblich) die beiden Funktionsterme zunächst gleichsetzt,
- mit der linken Seite subtrahiert, so dass eine "...=0"-Gleichung entsteht,
- auf der linken Seite die kleinere der beiden x-Potenzen ausklammert,
- die beiden Faktoren (x-Potenz und Klammer dahinter) nacheinander gleich null setzt.
Beispiel
| = |
|
| = |
|
Ermittle die Anzahl der Schnittpunkte beider Graphen durch grobe Skizze und bestimme die genauen Koordinaten rechnerisch.