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Quadratische Funktionen (Teil 1)
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Quadratische Funktionen (Teil 4)

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel
Neben der Normalparabel (schwarz) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
graphik
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Den Formfaktor a ermittelt man, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
graphik
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Grafen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Grafen, wenn b > f(a)
  • auf dem Grafen, wenn b = f(a)
  • unter dem Grafen, wenn b < f(a)
Beispiel
f
:
 
y
=
1
2
 
x
2
x
+
8
;
 
 
 
 
 
 
 
 
A
 
5
 
|
 
1
;
 
 
 
 
B
 
2
 
|
 
9
;
 
 
 
 
C
 
1
 
|
 
6,5
A liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Parabel
B liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Parabel
C liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Parabel
Durch die Gleichung y = a (x + d)² + e (a≠0) ist eine Parabel mit Scheitelkoordinaten xS = -d und yS = e gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung y = a (x + d)² + e. Bestimme a, d und e.
graphik
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