Quadratische Funktionen - einführende Aufgaben mit a≠1
Gestreckte und gestauchte Parabeln, Bestimmung von Parametern (insbesondere Formparameter) anhand des Grafen, leichte Scheitelbestimmung
Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.
Beispiel
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
- y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung - y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0) - y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2) - y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y | = |
|
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
- über dem Graphen, wenn b > f(a)
- auf dem Graphen, wenn b = f(a)
- unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f:
;
;
;
y | = |
|
A |
|
B |
|
C |
|
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
- nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
- evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y | = |
|
Bestimme a,
und
.
x | S |
y | S |
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung
in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
y | = |
|