Stochastik - Bernoullikette und Binomialverteilung - Aufgaben

Kennzeichen eines Bernoulliexperiments und einer Bernoulli-Kette, Bestimmung der zugehörigen Parameter, Binomialverteilung bei vorgegebenen Parametern, Textaufgaben

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Berechne den Binomialkoeffizienten.

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Binomialkoeffizienten

Der Binomialkoeffizient gibt in Bernoulli-Ketten die Anzahl der Pfade an, bei n Durchführungen genau r Treffer zu erhalten.
Dies wird bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Ketten benötigt.

Schreibweise:

wie ein Vektor (n über r in runden Klammern)
Gelesen: "n über r"

Berechnung: mithilfe der nCr-Taste deines Taschenrechners, also zuerst n eingeben, dann nCr-Taste drücken, dann r eingeben. Ohne Taschenrechner:

Zähler: n · (n-1) · (n-2) · ... (n-r+1) [insgesamt r Faktoren]
Nenner: 1 · 2 · 3 · ... · r [ebenfalls r Faktoren]
Kürzen (bis der Nenner 1 ist!), dann verbliebenen Zähler berechnen.

Beispiel

Bernoulli-Experimente und Bernoulli-Ketten:

Bernoulli-Experiment:
Zufallsversuch, bei dem genau zwei mögliche Ergebnisse interessieren, z.B.

"Erfolg -- Nichterfolg"
"Treffer -- Niete"
"0 -- 1".
Ist die Treffer-Wahrscheinlichkeit p, so ist die Nicht-Treffer-Wahrscheinlichkeit q = 1− p (Gegenereignis).

Bernoulli-Kette der Länge n:

Ein Bernoulli-Experiment wird n mal wiederholt, wobei die Durchführungen jeweils unabhängig voneinander sind.
Ein Pfad mit r Treffern hat die Wahrscheinlichkeit p^r · q^n-r, wobei p die Trefferwahrscheinlichkeit und q = 1 − p die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit ist.
In einer Bernoulli-Kette der Länge n gibt der Binomialkoeffizient "n über r" die Anzahl der Pfade mit genau r Treffern an.

Beispiel

Ein Würfel wird 4 Mal geworfen. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an.

Ein Würfel wird 4 Mal geworfen und die Anzahl der geraden Zahlen notiert. Handelt es sich um ein Bernoulli-Experiment? Wenn ja, dann gib Trefferwahrscheinlichkeit und Länge der Bernoulli-Kette an.

Wahrscheinlichkeiten der Art P( X ≤ k ) einer binomial verteilten Zufallsgröße X können mit unterschiedlichen Hilfsmitteln (WTR, CAS/MMS, GTR, Tafelwerk) bestimmt werden. Man beachte, welche Hilfsmittel für die Prüfung zugelassen sind!

Um P( Z > k ) zu bestimmen, ermittelt man erst den Wahrscheinlichkeitswert für das Gegenereignis "Z ≤ k" und zieht diesen dann von 1 ab.

Beispiel 1

Eine Urne enthält eine weiße und 7 schwarze Kugeln. Wie oft musst du mindestens eine Kugel (mit Zurücklegen) ziehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens 2-mal "weiß" zu ziehen?

Antwort: mindestens ?-mal

Beispiel 2

Die Verarbeitung von Bauteilen wird als "sehr gut" bezeichnet, wenn man in einer Stichprobe von 100 Stück mit einer Mindestwahrscheinlichkeit von 96% maximal 3 defekte Bauteile findet. Wie hoch darf der Anteil an defekten Bauteilen maximal sein?

Antwort:

? % (gerundet auf eine Dezimale)

Bernoulli Formel:

Für eine Bernoulli-Kette der Länge n lässt sich die Wahrscheinlichkeit P(X=r), dass die Zufallsgröße X genau r Treffer (Trefferwahrscheinlichkeit p) hat mit der Bernoulli-Formel berechnen:

B_n,p = P(X=r) = (ⁿ_r) · p^r · (1 − p)^n-r

Beispiel 1

Wie oft muss ein Würfel mindestens geworfen werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% mindestens eine 1 zu würfeln?

Beispiel 2

Ein Würfel wird 5 Mal geworfen.

Wahrscheinlichkeit für genau vier Einser:

Wahrscheinlichkeit für höchstens zwei Quadratzahlen:

Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(n_k)·p^k·(1−p)^n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit dem GTR:

Gegeben: Bernoullikette der Länge n mit Trefferwahrscheinlichkeit p.

Wahrscheinlichkeit für GENAU r Treffer:

B_n,p = P(X = r) = binompdf (n , p , r)

Wahrscheinlichkeit für HÖCHSTENS r Treffer:

F_n,p = P(X ≤ r) = binomcdf (n , p , r)

Beispiel

0,78

X > k

0,95

Für welche Werte von k gilt diese Ungleichung?