Gebrochen-rationale Funktionen - Polstellen - Aufgaben

Verhalten von f(x) in der Umgebung von Definitionslücken

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Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle

wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an

Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle

mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).

Beispiel

Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.

Eine Definitionslücke ist (anders als bei einer Polstelle) behebbar, wenn der "problematische" Faktor im Nenner herausgekürzt werden kann. Zur näheren Bestimmung von Nullstellen, Polstellen und (evtl. behebbaren) Definitionslücken sollte man also wie folgt vorgehen:

Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisieren
Definitionsmenge bestimmen: ALLE auftretenden Faktoren im Nenner, die Null werden können, liefern eine Definitionslücke (ganz gleich, ob man sie herauskürzen kann oder nicht)
Definitionslücken näher spezifizieren: behebbar, wenn herauskürzbar; ansonsten Polstelle
Nullstellen bestimmen: nur solche Faktoren im Zähler, die nicht herausgekürzt werden können, liefern Nullstellen der Funktion.

Beispiel

Bestimme evtl. auftretende Nullstellen und Definitionslücken und charakterisiere diese näher.

f(x)

−

Um eine Polstelle x₀ zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x₀ gehen und einmal von rechts.

Beispiel: x₀=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.

Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.

Beispiel

Bestimme alle auftretenden Polstellen und charakterisiere diese näher

−

Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:

Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
Binomische Formeln
Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta

Sei c eine beliebige reelle Zahl. Der Limes von f(x) für x → c⁻ bzw. x → c⁺ gibt an, wie sich die Funktion in unmittelbarer Umgebung links bzw. rechts von x = c verhält.

Beispiel

Wie verhält sich f in der Umgebung der Definitionslücken?

Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0^- bzw. 0⁺, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.

Beispiel

Bestimme, wenn möglich:

l i m

x → 5^-

−

l i m

x → 5

−

Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " l_Z" und " l_N" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

= 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
= l_Z : l_N, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
= ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet

Beispiel

l i m

x → -∞

−