Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken - Matheaufgaben

Unterschiedliche Lösungsmethoden quadratischer Gleichungen, u.a. mit Lösungsformel; Ermittlung quadratischer Gleichungen anhand der vorgegebenen Lösung(en); Bruchgleichungen, die auf quadratische Gleichungen zurückgeführt werden können

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

  • Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

    D = (p/2)² − q

    Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

    x1,2 =-p/2 ± √D

Löse mit Hilfe der pq-Formel.

1
3
 
x
2
=
2,87
+
2
3
 
x
x
1
=
 
die kleinere
x
2
=
 
die größere
  • Nebenrechnung
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Quadratische Gleichungen Teil 1
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Quadratische Gleichungen Teil 2
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Quadratische Gleichungen Teil 3
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Quadratische Gleichungen Teil 4
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Quadratische Gleichungen Teil 5
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
−
x
2
+
7
=
5
+
x
Beispiel 2
Löse die Gleichung 
2x
2
−
5x
−
7
=
0
.
Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
Beispiel
Löse die Gleichung 
2x
2
−
10x
=
14
.
Satz von Vieta: Der quadratische Term

x² + bx + c

kann faktorisiert werden, wenn man zwei Zahlen p und q findet, die
  • addiert b ergeben und
  • multipliziert c
Dann ist der obere Term äquivalent zu

(x + p) · (x + q)

Beispiel
Löse durch Faktorisierung:
x
2
−
7x
+
6
=
0

Faktorisieren mit dem Rechteckmodell

Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:

  • Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
  • "Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.

Beispiel
Löse die quadratische Gleichung, indem du zunächst den quadratischen Term faktorisierst. Das Rechteck-Modell kann helfen.
3x
2
+
10x
−
8
=
0
x
1
=
?
 
die kleinere
x
2
=
?
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils mit wenig Aufwand:
−
2x²
+
3
=
2
 
          
 
1
2
·
x
−
2
2
−
3
=
−
1
 
          
 
−
2x
2
=
3x

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel
Löse die Gleichung 
x
2
−
9x
+
2
=
0
.

Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel 1
Löse die Gleichung
 
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
Beispiel 2
Löse die Gleichung
 
x
4
−
6x
2
+
8
=
0
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Bruchgleichungen vom einfachen Schema a/b = c/d löst man durch Überkreuzmultiplizieren und erhält damit als Zwischenschritt a·d = b·c.

Bei komplexeren Bruchgleichungen geht man im Prinzip genauso vor und multipliziert im ersten Schritt mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller vorkommenden Nennerterme (Hauptnenner). Dadurch fallen sämtliche Nenner aus der Gleichung raus.

Beispiel
Löse die Gleichung
2x
+
1
x
−
2
−
3
x
=
5