Quadratische Gleichungen - Lösungstechniken - Matheaufgaben

Faktorisieren mit dem Rechteckmodell

Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:

• Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
• "Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 = (−b ± √D) : 2a

Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.

Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn

• x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
  → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
• keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
  → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern

Satz von Vieta: Der quadratische Term

x² + bx + c

kann faktorisiert werden, wenn man zwei Zahlen p und q findet, die

• addiert b ergeben und
• multipliziert c

Dann ist der obere Term äquivalent zu

(x + p) · (x + q)

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x_1,2 =-p/2 ± √D

Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form

• (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
• (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).

Bruchgleichungen vom einfachen Schema a/b = c/d löst man durch Überkreuzmultiplizieren und erhält damit als Zwischenschritt a·d = b·c.

Bei komplexeren Bruchgleichungen geht man im Prinzip genauso vor und multipliziert im ersten Schritt mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller vorkommenden Nennerterme (Hauptnenner). Dadurch fallen sämtliche Nenner aus der Gleichung raus.