Terme - Umformungen in Summen und Produkten - Matheaufgaben

Multiplikation und Division von einfachen Variablentermen. Addition und Subtraktion von gleichartigen Termen

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Produkte wie
    • 3 ·a
    • q ·½
    • 3q
    können nur dann durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden, wenn sie gleichartig sind ("Äpfel mit Äpfel und Birnen mit Birnen"). Hier sind das die letzten beiden Produkte (jeweils q als Variable):

    q ·½ + 3q = ½q + 3q = 3½ q

    q ·½ − 3q = ½q − 3q = −2½ q

Vereinfache und gib die gefragten Werte als gekürzte Brüche an.

1
2
 
a
+
2b
−
3a
=
 
a
+
 
b
  • Nebenrechung

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Lernvideo
Termvereinfachung (Teil 1)
Lernvideo
Termvereinfachung (Teil 2)
Gleichartige Terme werden addiert und subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert und subtrahiert (Distributivgesetz). Bringe dazu zunächst alle Summanden in die Form

"Vorzahl · Variable", also z.B.

  • a · 3 = 3a
  • a · 2 · 4 = a · 8 = 8a
  • a : 2 = ½ a
  • a = 1a
  • -a = -1a
Dabei wird das Kommutativgesetz (z.B. erste Zeile) und das Assoziativgesetz (zweite Zeile erster Schritt) angewendet.
Beispiel 1
3x
+
10x
13x
−
14x
−
1x
=
−
x
Beispiel 2
Überprüfe auf Äquivalenz:
z
:
7
−
z
+
7
·
z
+
z
·
2
 
      und      
 
9z
−
6
14
·
z
·
2
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie (salopp ausgedrückt) "eigentlich gleich" sind, korrekt: wenn sie die gleiche Grundmenge haben und wenn jede Zahl daraus, eingesetzt in beide Terme, zum selben Termwert führt. Man zeigt die Äquivalenz zweier Terme meistens durch Äquivalenzumformung.
Beispiel
Finde heraus, ob die folgenden Terme jeweils äquivalent sind:
(a) 
1
2
 
z
2
·
4z
   und   
z
·
z
·
2z
(b) 
z
3
+
z
   und   
z
−
2
3
·
z
Produkte und Quotienten von Variablen(-Potenzen) lassen sich, sofern die Variable immer dieselbe ist, zu einer Potenz zusammenfassen. Z.B.
a · a3 : a2 = a4 : a2 = a2
Beispiel 1
Schreibe als Summe von Variablenpotenzen mit passendem Vorfaktor:
5
·
x
·
x
·
x
−
y
=
?
3
·
c
−
a
·
a
·
a
·
a
·
a
+
b
·
b
:
2
=
?
Beispiel 2
Fasse zusammen:
a
3
·
a
2
:
a
6
Produkte wie
  • 3 ·a
  • q ·½
  • 3q
können nur dann durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden, wenn sie gleichartig sind ("Äpfel mit Äpfel und Birnen mit Birnen"). Hier sind das die letzten beiden Produkte (jeweils q als Variable):

q ·½ + 3q = ½q + 3q = 3½ q

q ·½ − 3q = ½q − 3q = −2½ q

Beispiel 1
Vereinfache:
5
·
r
:
6
−
1
3
·
s
+
2r
−
7
6
+
s
·
2
3
Beispiel 2
Vereinfache:
21 u
−
3
4
 
v
+
5u
−
5%
−
v
Zwei Produkte, in denen dieselben Variablen in derselben Potenz auftreten, heißen gleichartig.

Nur gleichartige Produkte können durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden. Dabei werden die zugehörigen Zahlen addiert/subtrahiert ("Äpfel mit Äpfeln und Birnen mit Birnen").

Beispiel
Welche der unten aufgeführten Terme sind jeweils gleichartig?
  • 3a
  • x·5xy
  • a·0,7
  • 3x²+y
  • ab
  • -3x²y