Konstruktion mit Zirkel und Lineal - Standardkonstruktionen

Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Lot, Höhe, Inkreis, Umkreis, Höhenschnittpunkt, Thaleskreis

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Welche Konstruktionen führen zur Lösung?

  • graphik
    Gesucht sind alle Punkte, die von g und h denselben Abstand haben und gleichzeitig von A und B gleich weit entfernt sind. Man erhält die Lösung durch folgende Konstruktionen:
       
     
    genau eine Winkelhalbierende
       
     
    genau zwei Winkelhalbierende
       
     
    Mittelsenkrechte von [AB]
       
     
    Höhe im Dreieck ASB
    Es ergibt sich als Lösung:
       
     
    genau ein Punkt
       
     
    mehrere, aber endlich viele Punkte
       
     
    unendlich viele Punkte
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
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  • Gesucht sind alle Punkte, die von g und h denselben Abstand haben und gleichzeitig von A und B gleich weit entfernt sind.
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
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Seitenhalbierende verbinden jeweils einen Eckpunkt des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.
Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu A und B gleich weit entfernt. D.h.
  • ist P ein beliebiger Punkt der Mittelsenkrechten, so ist dieser zu A und B gleich weit entfernt.
  • ist irgendein Punkt P von A und B gleich weit entfernt, so muss die Mittelsenkrechte durch P gehen.
Diese Eigenschaft lässt sich z.B. auch nutzen, um eine Winkelhalbierende oder ein Lot zu konstruieren.
Beispiel 1
Gegeben ist die Strecke [AB]. Konstruiere die Mittelsenkrechte.
graphik
Beispiel 2
Ein Winkel soll halbiert werden.
graphik
Beispiel 3
Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden.
graphik
Fällt man von einem Eckpunkt des Dreiecks das Lot auf die gegenüberliegende Seite, so erhält man die Höhe der entsprechenden Seite. In jedem Dreieck schneiden sich alle drei Höhen (evtl. verlängert) in einem Punkt.
Beispiel
Gegeben ist das folgende Dreieck. Konstruiere den Höhenschnittpunkt.
graphik
Die Punkte der Winkelhalbierenden besitzen die Eigenschaft, dass sie zu beiden Schenkeln denselben Abstand haben. Daher gilt folgender Satz:

Die drei Winkelhalbierenden eines jeden Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt hat von allen drei Seiten denselben Abstand, ist also der Mittelpunkt des Inkreises.

Beispiel
Gegeben ist das folgende Dreieck. Konstruiere den Inkreis.
graphik
Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegen, haben eine exklusive Eigenschaft (d.h. nur sie haben diese Eigenschaft): Sie sind zu A und B gleich weit entfernt. D.h.
  • ist P ein beliebiger Punkt der Mittelsenkrechten, so ist dieser zu A und B gleich weit entfernt.
  • ist irgendein Punkt P von A und B gleich weit entfernt, so muss die Mittelsenkrechte durch P gehen (darum "exklusiv").
Diese Eigenschaft lässt sich z.B. auch nutzen, um eine Winkelhalbierende oder ein Lot zu konstruieren.
Beispiel 1
Gegeben ist die Strecke AB. Konstruiere die Mittelsenkrechte.
graphik
Beispiel 2
Ein Winkel soll halbiert werden.
graphik
Beispiel 3
Im Punkt P soll ein Lot zur Geraden g errichtet werden.
graphik
Beispiel 4
Gegeben ist das folgende Dreieck. Konstruiere den Höhenschnittpunkt.
graphik
Jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten einer Strecke hat zu beiden Endpunkten der Strecke dieselbe Entfernung. Daher gilt folgender Satz:

Die drei Mittelsenkrechten eines jeden Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist von allen drei Ecken gleich weit entfernt, ist also der Mittelpunkt des Umkreises.

Beispiel
Gegeben ist das folgende Dreieck. Konstruiere den Umkreis.
graphik
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden.
Satz des Thales:
  • Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht AB durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über AB.
  • Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über AB.
Beispiel
Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.
graphik
Satz des Thales:
  • Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
  • Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].
Beispiel
Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.
graphik