Vektoren (zweidimensional) - Mathematikaufgaben

Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Multipliziere die x- und die y-Koordinate des Urvektors mit dem Streckungsfaktor k.
  • Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann gilt:

Berechne den Bildvektor.

  • v
    =
    5
    −
    2
    k
    =
    1,5
    v'
    =
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Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann gilt:
Beispiel
A'B'
=
k
·
AB
wobei 
AB
 der Urvektor, 
A'B'
 der Bildvektor und k eine reelle Zahl ist. Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor. Weiter ist für k ungleich null:
A'B'
=
k
·
AB
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch).

Beispiel:
AB
=
2
−
1
soll mit 
k
=
0,5
 zentrisch gestreckt werden. Bestimme den Bildvektor 
A'B'
.
Für den Mittelpunkt M(x|y) einer Strecke [AB] mit A(xA|yA) und B(xB|yB) gilt:

x = (xA + xB) : 2
y = (yA + yB) : 2

Beispiel
Berechne den Mittelpunkt der Strecke [PQ], wenn P(2|5) und Q(4|1) ist.
M
 
2
+
4
2
 
|
 
5
+
1
2
M
 
3
 
|
 
3
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
Urpunkte, Bildpunkte und den Streckungsfaktor einer zentrischen Streckung mit Vektoren berechnen.
Beispiel 1
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Beispiel 3
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
Die Verknüpfung von zwei Parallelverschiebungen kann durch eine einzige Parallelverschiebung ersetzt werden. Der neue Verschiebungsvektor errechnet sich aus der Summe der beiden ursprünglichen Vektoren.
Beispiel
Gegegeben sind die Vektoren
 
v
1
=
3
2
 
und
 
v
2
=
−
4
4
 
.
Zwei Parallelverschiebungen hintereinander mit diesen beiden Vektoren können ersetzt werden durch eine Parallelverschiebung mit dem Summenvektor:
v
=
v
1
 
⊕
 
v
2
v
=
3
2
 
⊕
 
−
4
4
v
=
−
1
6
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken.
Beispiel 1
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?
Beispiel 2
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?