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Vektoren (zweidimensional) - Mathematikaufgaben
Vektorkoordinaten berechnen, Rechnen mit Vektoren, Parallelverschiebung
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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Multipliziere die x- und die y-Koordinate des Urvektors mit dem Streckungsfaktor k.
Beispielaufgabe
Streckt man einen Vektor durch
zentrische Streckung
mit dem Streckungsfaktor
k
, dann gilt:
Berechne den Bildvektor.
v
=
5
−
2
k
=
1,5
v'
=
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Stoff zum Thema
Streckt man einen Vektor durch
zentrische Streckung
mit dem Streckungsfaktor
k
, dann gilt:
Beispiel
A'B'
=
k
·
AB
wobei
AB
der
Urvektor
,
A'B'
der
Bildvektor
und k eine reelle Zahl ist. Der Bildvektor ist
|k|-mal
so lang wie der Urvektor. Weiter ist für k ungleich null:
A'B'
=
k
·
AB
k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch).
Beispiel:
AB
=
2
−
1
soll mit
k
=
0,5
zentrisch gestreckt werden. Bestimme den Bildvektor
A'B'
.
Für den Mittelpunkt M(x|y) einer Strecke [AB] mit A(x
A
|y
A
) und B(x
B
|y
B
) gilt:
x = (x
A
+ x
B
) : 2
y = (y
A
+ y
B
) : 2
Beispiel
Berechne den Mittelpunkt der Strecke [PQ], wenn P(2|5) und Q(4|1) ist.
M
2
+
4
2
|
5
+
1
2
M
3
|
3
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen.
Urpunkte, Bildpunkte und den Streckungsfaktor einer zentrischen Streckung mit Vektoren berechnen.
Beispiel 1
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4)
,
P(1|1)
,
P'(5|13)
bestimme den Streckungsfaktor
k
.
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1)
,
k
=
4
,
P(2|-3)
, bestimme den Bildpunkt
P'(x'|y')
.
Beispiel 3
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1)
,
k
=
2
,
P'(5|-4)
, bestimme den Urpunkt
P(x|y)
.
Die Verknüpfung von zwei Parallelverschiebungen kann durch eine einzige Parallelverschiebung ersetzt werden. Der neue Verschiebungsvektor errechnet sich aus der Summe der beiden ursprünglichen Vektoren.
Beispiel
Gegegeben sind die Vektoren
v
1
=
3
2
und
v
2
=
−
4
4
.
Zwei Parallelverschiebungen hintereinander mit diesen beiden Vektoren können ersetzt werden durch eine Parallelverschiebung mit dem Summenvektor:
v
=
v
1
⊕
v
2
v
=
3
2
⊕
−
4
4
v
=
−
1
6
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken.
Beispiel 1
Die Parabel
p: y
=
x
2
−
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(1|1)
und
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel
p'
?
Beispiel 2
Die Gerade
g: y
=
−
2x
+
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(5|5)
und
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden
g'
?
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