Potenzgleichungen - Matheaufgaben

Einfache Potenzgleichungen und -ungleichungen lösen

Hilfe
  • Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

    T(x)r = a

    lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

    T(x) = a1/r

    Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
    • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
    • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
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  • x
    2
    =
    3
    1,5
     
    3
    0,75
         
     
    −
    3
    0,75
         
     
    3
    −
    0,75
         
     
    −
    3
    −
    0,75
         
    unlösbar
    Notizfeld
    Notizfeld
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Potenzen mit der Hochzahl 2 heißen Quadratzahlen.

Beispiel
52 = 5 · 5 = 25

Die Quadratzahlen von 0 bis 20 sollte man auswendig wissen.
Für Potenzen mit einer negativen Zahl als Basis gilt folgende Regel:
  • Exponent gerade ⇒ Potenzwert positiv, wie z.B. bei (-5)4
  • Exponent ungerade ⇒ Potenzwert negativ, wie z.B. bei (-5)5
Vorsicht: Wenn das Minuszeichen vor der Basis nicht eingeklammert ist, gilt die Basis als positiv (wegen der Regel "Potenz vor Strich". Darum ist z.B. -52 zu lesen als "Gegenzahl von 52" und hat damit einen negativen Wert.
Beispiel 1
−
2
2
=
?
−
2
2
=
?
−
2
3
=
?
−
2
3
=
?
Beispiel 2
?
4
=
−
16
?
3
=
−
125
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
−
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
−
2
=
−
1
2
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