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Potenzgleichungen - Aufgaben
Einfache Potenzgleichungen und -ungleichungen lösen
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Beispielaufgabe
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)
r
= a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a
1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x
1/3
= -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
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x
2
=
3
1,5
3
0,75
−
3
0,75
3
−
0,75
−
3
−
0,75
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Potenzen mit der Hochzahl 2 heißen Quadratzahlen.
Beispiel
5
2
= 5 · 5 = 25
Die Quadratzahlen von 0 bis 20 sollte man auswendig wissen.
Für Potenzen mit einer negativen Zahl als Basis gilt folgende Regel:
Exponent gerade ⇒ Potenzwert positiv, wie z.B. bei (-5)
4
Exponent ungerade ⇒ Potenzwert negativ, wie z.B. bei (-5)
5
Vorsicht: Wenn das Minuszeichen vor der Basis nicht eingeklammert ist, gilt die Basis als positiv (wegen der Regel "Potenz vor Strich". Darum ist z.B. -5
2
zu lesen als "Gegenzahl von 5
2
" und hat damit einen negativen Wert.
Beispiel 1
−
2
2
=
?
−
2
2
=
?
−
2
3
=
?
−
2
3
=
?
Beispiel 2
?
4
=
−
16
?
3
=
−
125
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)
r
= a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a
1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x
1/3
= -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
x
+
1
−
3
4
=
8
3
x
2
−
2
=
−
1
2
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