Koordinatensystem - Matheaufgaben

Gemischte Aufgaben zur Elementargeometrie, bei denen das Koordinatensystem eine Rolle spielt

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Für diese Aufgabe benötigst du kariertes Papier, einen Bleistift, ein Lineal und ein Geodreieck. Zeichne die angegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Markiere alle Punkte, die die angegebene Eigenschaft haben und vervollständige den zugehörigen Lückentext.

Die Punkte, die von der Gerade g durch die Punkte A(0|4) und B(6|0) weniger als 2 Längeneinheiten entfernt sind.
Zeichne dazu die Gerade g sowie
Kreise um A und B

genau eine Parallele zu g

genau zwei Parallelen zu g

und markiere alle Punkte, die
der Schnittmenge beider Kreise angehören

außerhalb beider Kreise liegen

von den Parallelen eingeschlossen werden

oberhalb oder unterhalb der Parallelen liegen

sowie die Kreise selbst

sowie die Parallelen selbst

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In einem Koordinatensystem lassen sich alle Punkte durch zwei Koordinaten angeben. Das Koordinatensystem wird durch zwei senkrecht aufeinander stehende Achsen gebildet. Die waagrechte Achse heißt x-Achse, die senkrechte Achse heißt y-Achse. Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate, die zweite Koordinate ist die y-Koordinate.

Beispiel

Gib die Koordinaten der eingezeichneten Punkte an.

Beim Zeichnen von senkrechten und parallelen Linien hilft einem das Geodreieck. Nutze dabei die vorhandenen Hilfslinien.

Beispiel 1

Zeichne eine Gerade, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht.

Beispiel 2

Zeichne eine Gerade, die parallel zu g verläuft und durch den Punkt P geht.

Der Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r enthält genau die Punkte, die von M den Abstand r haben, d.h.

AUF dem Kreis liegen die Punkte mit einer Entfernung GLEICH r,
INNERHALB des Kreises liegen die Punkte mit einer Entfernung KLEINER als r,
AUßERHALB des Kreises liegen die Punkte mit einer Entfernung GRÖßER als r von M.

Beispiel

Markiere in einem KOSY alle Punkte, die vom Punkt P(4|4)

(a) mindestens drei LE enfernt liegen

(b) weniger als zwei LE enfernt liegen

Unter Abstand eines Punktes P von der Geraden g versteht man die kürzeste Entfernung zwischen P und g, also die senkrechte Verbindungsstrecke.

Durch zwei Punkte A und B führt eine Linie. Unterscheide zwischen

Strecke AB
Begrenzt durch Anfangs- und Endpunkt; ihre Länge wird durch |AB| ausgedrückt.
Halbgerade bzw. Strahl [AB
Begrenzt nur durch den Anfangspunkt A, ansonsten unendlich lang.
Gerade AB
Weder Anfangs- noch Endpunkt, also unendlich lang.

Beachte darüber hinaus folgende Schreibweisen:

Mit kleinen Buchstaben werden Strecken (ebenso Halbgeraden und Geraden), aber auch Streckenlängen bezeichnet.
A ∈ b drückt aus, dass der Punkt A auf der Gerade b liegt ("Element der Gerade").

Beachte bei der Beschriftung von Vielecken den Drehsinn: Jedes Dreieck, Viereck usw. wird GEGEN den Uhrzeigersinn an den Ecken mit den großgeschriebenen Buchstaben A, B, C usw. beschriftet. Die Seiten werden ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn jedoch mit kleingeschriebenen Buchstaben a, b, c usw. beschriftet. Dabei liegt die Seite a dem Eckpunkt A, die Seite b dem Eckpunkt b usw. gegenüber.

Achte beim Anlegen des Geodreiecks darauf, dass

die Linealkante an einem der beiden Schenkel anliegt,
der Nullpunkt auf dem Scheitel ("Knickpunkt") des Winkels liegt und
der andere Schenkel durch die Winkelskala verläuft, um einen Wert ablesen zu können (etl. muss man ihn dazu verlängern).

Um von der richtigen Skala abzulesen, kannst du dich

entweder daran orientieren, ob der zu messende Winkel kleiner oder größer als 90° ist (also Augenmaß)
oder du nimmst die Skala, die beim ersten Schenkel (an den du die Linealkante anlegst) mit 0° beginnt.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte A(1|2), B(-3|2) und C(3|-4). Zeichne das Dreieck ABC in ein Koordinatensystem ein und miss den Winkel in der Ecke A aus.

Der zweite Schenkel geht aus dem ersten durch Drehung gegen den Uhrzeigersinn hervor.

Beispiel

Gegeben sind die Punkte A(3|-2) und B(-5|1). Zeichne den 66°-Winkel, bei dem [AB der erste Schenkel ist.

Der zweite Schenkel schneidet die y-Achse dann ungefähr im Punkt

S(0|▇).

Eine Tangente t berührt einen Kreis im Punkt P und hat damit die Eigenschaft, dass sie senkrecht zur Geraden durch M (Kreismittelpunkt) und P (Berührpunkt) steht.

Beispiel

Zeichne die Tangente an den Kreis im Punkt P.

Alle Punkte, die von einer Geraden g einen bestimmten Abstand d haben, liegen auf einer der beiden Parallelen von g (mit Abstand d).

Alle Punkte, die von den Punkten A und B gleich weit entfernt sind, liegen auf der Senkrechten zu AB durch deren Mittelpunkt ("Mittelsenkrechte").

Diese Aufgabentypen erwarten dich in den weiteren Übungslevel:

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Gemischte Aufgaben zur Elementargeometrie, bei denen das Koordinatensystem eine Rolle spielt

Für diese Aufgabe benötigst du kariertes Papier, einen Bleistift, ein Lineal und ein Geodreieck. Zeichne die angegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Markiere alle Punkte, die die angegebene Eigenschaft haben und vervollständige den zugehörigen Lückentext.

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