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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt. Klicke dazu "Zwischenschritte aktivieren".

Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
x
1
·
e
0,5x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte von 
G
f
.
d) Berechne f(-5), f(0) und f(2) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
5
 
 
x
 
 
2
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
  • Nebenrechnung

Tipp: Wähle deinen Lehrplan, und wir zeigen dir genau die Aufgaben an, die für deine Schule vorgesehen sind.
Beispiel 1
Gegeben ist die für x∈ℝ definierte Funktion f mit 
f
 
x
=
2
3x
·
e
x
.
a) Wie verhält sich die Funktion im Unendlichen?
b) Gib alle Nullstellen an.
c) Bestimme alle relativen Hoch- und Tiefpunkte.
d) Berechne f(-0,5), f(0) und f(4) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
0,5
 
 
x
 
 
4
.
e) Die Tangente an 
G
f
 an der Stelle 
x
=
0
 bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Bestimme dessen Fläche.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f mit  
f
 
x
=
 
e
·
ln
 
x
x
2
  und maximalem Definitionsbereich 
D
f
. Der Graph von f wird mit 
G
f
 bezeichnet.
a) Gib 
D
f
 an.
b) Ermittle das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge.
c) Berechne alle Nullstellen von f.
d) Bestimme Lage und Art aller Extrempunkte von 
G
f
.
e) Berechne f(8) und zeichne 
G
f
 auf der Grundlage aller bisherigen Ergebnisse im Intervall 
0
 
<
 
x
 
 
8
.
f) Gib die Wertemenge von f an.
Beispiel 3
Gegeben ist die Schar von Funktionen 
f
k
 mit  
f
k
 
x
=
x
·
e
1
x
k
,  Definitionsmenge 
D
f
 
=
 
 und 
k
 
 
+
. Der Graph von 
f
k
 wird mit 
G
k
 bezeichnet.
a) Gib die Nullstellen und das Verhalten von 
f
k
 für x→±∞ an.
b) Bestimme Lage und Art des Extrempunkts von 
G
k
 in Abhängigkeit von k.
c) Begründe, dass die Extrempunkte aller Graphen der Schar auf einer Halbgerade liegen, und beschreibe die Lage dieser Halbgerade im Koordinatensystem.
d) Weise nach, dass alle Graphen der Funktionenschar im Ursprung die gleiche Tangente besitzen, und gib eine Gleichung dieser Tangente an.
e) Bestimme den Wert für 
k
 so, dass 
G
k
 durch den Punkt 
6
 
|
 
6
e
2
 verläuft, und zeichne den Graphen der zugehörigen Scharfunktion unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse.