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Potenzen mit rationalen Exponenten
n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung
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Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b
−r
= 1 / b
r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b
1/n
=
n
√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b
m/n
=
n
√(b
m
) = (
n
√b)
m
Berechne ohne Taschenrechner. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.
81
1
2
=
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Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b
−r
= 1 / b
r
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt
b
1/n
=
n
√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt
b
m/n
=
n
√(b
m
) = (
n
√b)
m
Beispiel 1
27
2
3
=
?
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
3
64
27a
Beispiel 3
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
1
8
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)
r
= a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:
T(x) = a
1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x
1/3
= -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
x
+
1
−
3
4
=
8
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Zwei Terme T
1
und T
2
sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
und
x
2
x
2
3
und
x
3
Titel
×
...
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