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Quadratische Funktionen - Darstellungsformen - Mathematikaufgaben
Allgemeine Form (Normalform) - Scheitelpunktform - Nullstenform (Produktform); aus Graph ablesen und Umwandlung, u.a. mit quadratischer Ergänzung
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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Nimm die Zahl vor x und halbiere diese.
Der Term soll so umgeformt werden, dass man den Extremwert ablesen kann. Ergänze.
T(x)
=
x
2
+
4x
+
7
quadratische Ergänzung
=
x
2
+
4x
+
2
−
2
+
7
binomische Formel
=
x
+
2
+
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Notizfeld
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-
*
:
/
√
^
<
>
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Stoff zum Thema (+Video)
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
Normalform
y = ax² + bx + c ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
Scheitelform
y = a (x - x
S
)² + y
S
⇒ Ablesen des Scheitels S
Von der Normalform ausgehend erhält man die Scheitelform mithilfe der
quadratischen Ergänzung.
Beispiel
Bringe
y
=
1
4
x
2
−
2x
+
1
in Scheitelform und gib den Scheitel an.
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
Allgemeine Form (Normalform):
y=ax²+bx+c
Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
Scheitelpunktform:
y=a·(x−x
S
)²+y
S
Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(x
S
|y
S
) ablesen.
Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
y=a·(x−x
1
)·(x−x
2
)
Hieraus lassen sich die Nullstellen x
1
und x
2
ablesen.
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
Normalform ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
Normalform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
Scheitelpunktform ⇒ Normalform: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
Nullstellenform ⇒ Normalform: Ausmultiplizieren und vereinfachen
Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: x
S
ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, y
S
durch Einsetzen von x
S
in den Funktionsterm
Beispiel
Normalform - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
a)
y
=
1
3
x
+
1
2
−
2
b)
y
=
1
2
x
2
−
5x
+
8
c)
y
=
3
·
x
−
2
·
x
+
1
Von der
Scheitelpunktform
y = a⋅(x - x
S
) + y
S
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur
Normalform
:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die Normalform und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
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