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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
    • sie durch den Ursprung geht und/oder
    • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
    • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
    • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
    • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
    Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.

Kreuze die Beschreibung an, die die Gerade am besten charakterisiert.

g
:
X
=
2
0
0
+
μ
·
0
1
1
 
ist eine Ursprungsgerade
ist parallel zur   
 
x
1
Achse
 
   
 
x
2
Achse
 
   
 
x
3
Achse
ist parallel zur   
 
x
1,2
Ebene
 
   
 
x
1,3
Ebene
 
   
 
x
2,3
Ebene
liegt in der   
 
x
1,2
Ebene
 
   
 
x
1,3
Ebene
 
   
 
x
2,3
Ebene
 
ist von der x
1
und der x
3
Achse gleich weit entfernt
 
ist von der x
1
und der x
2
Achse gleich weit entfernt
  • Nebenrechnung

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Um die Gerade g durch die Punkte A und B in Parameterform darzustellen, kann man z.B.
  • A oder B als Aufpunkt und
  • den Verbindungsvektor von A nach B als Richtungsvektor verwenden.
Beispiel
Gib die Gerade g = AB in Parameterform an mit A(1|-1|2) und B(-2|5|5).
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Geraden g liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von g (Parameterform) ein. Sofern sich der Parameter eindeutig bestimmen lässt, gilt P ∈ g.
Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1
1
5
+
μ
·
3
4
2
 
.
Prüfe, ob die Punkte P(-1|3|5) und Q(3|-5|2) auf g liegen.
Um den evtl. Schnittpunkt (Spurpunkt) einer Geraden mit der x1x2-Ebene zu bestimmen, muss man innerhalb der Geradengleichung (Parameterform) x3 = 0 setzen.

Entsprechend setzt man x1 = 0, um den Schnittpunkt mit der x2x3-Ebene zu bestimmen und x2 = 0 für den Schnittpunkt mit der x1x3-Ebene.

Beispiel
Gegeben ist die Gerade g
:
X
=
1,5
1,5
1
+
μ
·
1
3
2
 
.
Bestimme sämtliche Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Gerade g z.B. dann, wenn
  • sie durch den Ursprung geht und/oder
  • sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
  • sie parallel zu einer Achse verläuft oder
  • ihre Punkte zu zwei Achsen denselben Abstand haben oder
  • ihre Punkte zu allen drei Achsen denselben Abstand haben.
Parallele Lagebeziehungen ergeben sich allein aus dem Richtungsvektor von g, für die Frage "echt oder unecht parallel" (UNECHT z.B. dann, wenn g in der x12-Ebene ENTHALTEN ist) muss auch der Ortsvektor, der zum Aufpunkt führt (Stützvektor) in die Betrachtung mit einbezogen werden.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Geraden:
g
:
X
=
2
3
4
+
μ
·
1
0
4
k
:
X
=
1
2
3
+
μ
·
0
0
3
 
     
 
h
:
X
=
μ
·
1
1
1
l
:
X
=
μ
·
0
1
1
 
     
 
i
:
X
=
μ
·
1
3
0
m
:
X
=
μ
·
2
7
9
Eine Geradengleichung lässt sich auch dann aufstellen, wenn keine festen Koordinaten vorgegeben sind. Alle weiteren Rechnungen erfolgen dann mit Hilfe der verwendeten Platzhalter (Buchstaben).
Beispiel
Gegeben ist eine Pyramide durch die Punkte A, B, C und S (siehe Skizze). D und E sind Seitenmitten.
  1. Bestimme für die Gerade DE eine Gleichung in Parameterform, wobei diese nur mit A, B, C und S ausgedrückt werden soll.
  2. Zeige, dass DE parallel zur Grundfläche der Pyramide verläuft.
Der Strahlensatz soll bei dieser Aufgabe NICHT angwandt werden.
Skizze:
 
graphik
Um zu ermitteln, durch welche Oktanden eine Gerade verläuft, sollten zunächst die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen) bestimmt werden.
Beispiel
Durch welche Oktanden verläuft die Gerade
 
g
:
X
=
1
5
0
+
μ
·
2
3
4
 
?