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  • Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

    f´(x) f bzw. Gf
    > 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
    < 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
    = 0 waagrechte Tangente

    Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Schließe von f´ auf die größtmöglichen Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f.

  • f '
     
    x
    =
    3
    ·
    x
    1
    ·
    x
    +
    2
    Streng monoton steigend für x∈
       
     
    ℝ   
     
    ]-∞;-2]   
     
    ]-∞;1]   
     
    [-2;1]   
     
    [-2;∞[   
     
    [1;∞[   
    Streng monoton fallend für x∈
       
     
    ℝ   
     
    ]-∞;-2]   
     
    ]-∞;1]   
     
    [-2;1]   
     
    [-2;∞[   
     
    [1;∞[   
    Bemerkung: die x-Werte -2 und 1 sind bei allen Intervallen bewusst eingeschlossen, da von "größtmöglichen" Intervallen die Rede ist. Obwohl die Ableitung an diesen Stellen Null ist, kommen sie für die gesuchten Intervalle grundsätzlich in Frage! Wenn dir das suspekt ist, so schau dir die ausführliche Begründung in dem Beispiel unter "Hilfe" an!
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Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente

Achtung: die Tabelle ist von links nach rechts zu lesen, d.h. aus f´(x)>0 in einem bestimmten Intervall kann auf strenge Monotonie von f geschlossen werden - aber nicht umgekehrt. Wenn f in einem bestimmten Intervall streng monoton wächst, kann es dort durchaus einzelne Stellen geben, an denen die Ableitung gleich null ist (waagrechte Tangente).

Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f ´
 
x
=
1
3
·
x
3
·
x
+
5

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton steigend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)<f(b).

Eine Funktion f ist in einem Intervall streng monton fallend, wenn für zwei unterschiedliche Werte a und b aus diesem Intervall mit a<b stets gilt f(a)>f(b).

Mit Monotonieintervall ist jeweils das größtmögliche Intervall innerhalb von Df gemeint, in dem eine strenge Monotonie vorliegt.