Ableitung - Produkt- und Quotientenregel - Aufgaben

Produktregel und Quotientenregel angewendet auf (Summen von) Potenzfunktionen und trigonometrische Funktionen

Hilfe
  • Produktregel:

    Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Bestimme die Ableitung auf zwei verschiedene Weisen und gib diese jeweils im letzten Schritt vereinfacht an. x-Potenzen sind in der Form "x^n" einzugeben.

  • f
     
    x
    =
    2x
    ·
    1
    −
    x
    • Möglichkeit 1: direkt mit Produktregel
    f ´
     
    x
    =
    ·
    1
    −
    x
    +
    ·
    =
    • Möglichkeit 2: f zuerst ausmultiplizieren
    f
     
    x
    =
    f ´
     
    x
    =
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Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Beispiel
f
 
x
=
−
x
2
·
sin(x)
f '
 
x
=
?
Produktregel:

Wenn f(x) = u(x)⋅v(x) dann ist f ′(x) = u′(x)⋅v(x) + v′(x)⋅u(x)

Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − v′(x)⋅u(x) ] / [v(x)]2

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
ln(x)
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
x
·
e
x
f '
 
x
=
?
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
·
cos
e
x
f '
 
x
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
1
−
3x
·
sin
x
f '
 
x
=
?
Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
x
e
x
+
x
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
0,5x
f´
 
x
=
?