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Integral - Betrachtungen ohne Stammfunktion - Aufgaben
Integrale grob abschätzen und elementargeometrisch bestimmen, Streifenmethode, Integralfunktion und deren Beziehung zur Integrandenfunktion
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Links ist die Fläche des kleinen Streifens ("Untersumme"), rechts die Fläche des großen Streifens ("Obersumme") einzutragen.
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch
Unter- und Obersumme
(U
n
bzw. O
n
) abgeschätzt werden (
Streifenmethode
).
Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:
U
n
≤ A ≤ O
n
Berechne U
1
und O
1
(Unter- und Obersumme, bestehend aus jeweils nur einem Streifen) mithilfe von f(x) und schätze damit das gegebene Integral ab. Brüche in der Form "a/b" angeben (nicht runden).
Zwischenschritte aktivieren
f
x
=
1
3
·
x
−
1
2
+
1
<
3
2
f
x
dx
<
Notizfeld
Notizfeld
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√
^
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Das
bestimmte Integral
mit der
Integrandenfunktion
f und den
Integrationsgrenzen
a und b kann als FlächenBILANZ gedeutet werden: Man betrachte die Fläche zwischen G
f
und der x-Achse im Intervall [a; b]. Teilflächen oberhalb der x-Achse gehen positiv, Teilflächen unterhalb der x-Achse negativ in die Bilanz ein.
Die Fläche A zwischen dem Graphen einer positiven Funktion und der x-Achse in einem Intervall [a;b] kann durch
Unter- und Obersumme
(U
n
bzw. O
n
) abgeschätzt werden (
Streifenmethode
).
Die Untersumme setzt sich aus n gleichbreiten, auf der x-Achse nebeneinander stehenden Rechtecksflächen (Streifen) zusammen, die möglichst hoch sind, den Graph aber niemals überragen.
Die Streifen der Obersumme sind möglichst niedrig, aber nie unterhalb des Graphen.
Die Breite der Streifen beträgt in beiden Fällen (b − a)/n.
Damit lässt sich abschätzen:
U
n
≤ A ≤ O
n
Beispiel
Schätze mit Hilfe der Streifenmethode (n=6) ab:
3
0
2
x
dx
Integriert man f(t) von a bis x (d.h. die obere Grenze ist variabel), so erhält man eine
Integralfunktion
I
a
die jedem Wert x (= obere Grenze) das entsprechende Integral (Flächenbilanz) zuordnet. I
a
besitzt im Allgemeinen folgende Eigenschaften:
mindestens eine Nullstelle x = a (weil das Integral von a bis a immer 0 ist)
sie ist Stammfunktion von f (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Beispiel
I(x)
=
x
0
f
t
dt
Welche Aussage ist richtig, welche falsch?
I ist im Intervall [3; ∞[ streng monoton zunehmend.
I ist im Intervall [0; 2] streng monoton fallend.
I ist im Intervall [0; 2] nicht negativ.
I hat die stärkste Zunahme bei x = 2.
I besitzt ein relatives Maximum bei x = 1.
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