Hilfe
    1. Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen
    2. diese in die zweite Ableitung einsetzen: ergibt sich ein positiver Wert, liegt ein Minimum vor; ergibt sich ein negativer Wert, liegt ein Maximum vor
    3. evtl. die erste Ableitung auf Vorzeichenwechsel prüfen, falls in (2) der Wert 0 herauskommt
  • Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

    Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

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Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar in Abhängigkeit vom Scharparameter a. Gib "!" in den nicht benötigten Feldern ein, wenn es weniger Extremstellen gibt als angeboten.

  • f
    a
    x
    =
    x
    3
    6a
     
    x
    2
    +
    9a
    2
    x
    7a
    a
    >
    0
    Minimum bei x
    =
    Maximum bei x
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen

Kanal: Mathegym

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)
Beispiel 2
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2

Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

  1. Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
  2. "Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
  3. Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
  4. Löse das Gleichungssystem
  5. Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel
Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).
f(x)
=
?x
2
+
?x
+
?
Zu jedem Einzelgraphen einer Funktionenschar fk lässt sich der passende Parameterwert von k ermitteln, indem man einen gut ablesbaren Punkt auf dem Graphen in die Funktionsgleichung einsetzt und diese nach k auflöst.
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik