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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

    Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

    • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
    • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung

Bestimme die Gleichung der Ortskurve der gegebenen besonderen Punkte. Variablenpotenzen sind in der Form a^n anzugeben.

  • Die Funktionenschar f
    a
    x
    =
    8
    a
     
    x
    3
    6a
    x
    ;
    a
    >
    0
    hat die Hochpunkte H
    a
    1
    2
     
    a
     
    |
     
    2a
    2
     
    .
    Ortskurve der Hochpunkte y
    =
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Ganzrationale Funktionenschar vom Grad 3, Parameterbestimmungen


Eine Kurve, auf der alle Punkte einer Funktionenschar liegen, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen, wird als Ortskurve bezeichnet.

Sind die Koordinaten der betrachteten Punkte (z.B. Hoch- oder Tiefpunkte) in Abhängigkeit von einem Parameter a gegeben, erhält man die Gleichung der Ortskurve in zwei Schritten:

  • Auflösen der x-Koordinatengleichung nach a
  • Einsetzen in die y-Koordinatengleichung
Beispiel
Bestimme die Ortskurve der Scheitelpunkte der Funktionenscharen
f
a
x
=
x
2
+
a und
g
a
x
=
x
2
ax
+
1
4
 
a
2
+
1
4
 
a

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen, wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel 1
Beschreibe die Funktionenscharen f
b
x
=
x
+
b und g
a
x
=
ax
2
Beispiel 2
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)