Bruchgleichungen - Matheaufgaben

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

    Auch bei komplizierteren Bruchgleichungen geht man so vor, dass man die Gleichung zunächst nennerfrei macht. Das gelingt, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Löse die Gleichung. Gib die Lösung als Dezimalzahl oder als Bruch in der Form a/b ein.

  • 5
    8
    =
    9
    x
    x
    =
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Bruchgleichungen einfach erklärt – einfache Bruchgleichung lösen

Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Auch bei komplizierteren Bruchgleichungen geht man so vor, dass man die Gleichung zunächst nennerfrei macht. Das gelingt, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
3
x
=
2
7
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Beispiel 3
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
Welche x-Werte gehören bei folgender Gleichung nicht zur Grundmenge?
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3
Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b1 und b2 schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b1(x) = b2(x).

Bruchgleichungen, bei denen im Zähler kein x steht, kann man lösen, indem man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet, also Zähler und Nenner jeweils miteinander vertauscht.

Beispiel
5
3x
−
2
=
1
4
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)