Bruchgleichungen - Matheaufgaben

Lösung mittels Graf, kreuzweiser Multiplikation bzw. Multiplikation mit dem Hauptnenner; Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben

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  • Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Löse die Bruchgleichung. Gib die Lösung als Bruch an.

2x
+
1
3x
+
4
=
2x
3x
−
5
x
=
  • Nebenrechnung
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Bruchgleichungen (Teil 1)
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Bruchgleichungen (Teil 2)
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Bruchgleichungen (Teil 3)

Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Beispiel 1
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
3
x
=
2
7

Bei einfachen Bruchgleichungen kommt man oft schon dadurch weiter, dass man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

a / b = c / d      | Kehrwerte bilden

b / a = d / c

Beispiel
5
3x
−
2
=
1
4
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)
Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b1 und b2 schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b1(x) = b2(x).
Um eine Bruchgleichung nennerfrei zu machen, kann man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme multiplizieren. Evtl. hat man weniger Rechenaufwand, wenn man das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nennerterme (statt des Produkts) verwendet.
Beispiel
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x