Eigenschaften von Funktionen

Wiederholung anhand unterschiedlicher Funktionstypen: Bestimmung der Definitionsmenge, Symmetrie zum KOSY, Überprüfung, ob ein Punkt auf dem Graph liegt bzw. Bestimmung einzelner Koordinaten unter diesem Gesichtspunkt

Hilfe
    • Achsensymmetrie zur y-Achse:
      • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      f(x) = f(-x)

    • Punktsymmetrie zum Ursprung:
      • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
      -f(x) = f(-x)

    • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

      • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

      -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
      Also gilt:
      Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

    • Hinweis:
      • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.

Untersuche, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung des Koordinatensystems (KOSY) ist.

  • f
     
    x
    =
    2x
    x
    2
    −
    3
    Der Graph
    ist symmetrisch zur y-Achse.
    ist symmetrisch zum Ursprung.
    ist weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung.
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Um zu überprüfen, ob ein Punkt P( x | y ) auf dem Graphen von f liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
    • Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
    -f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

    • f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

    -f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
    Also gilt:
    Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
    • Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
5x
2
x
2
+
2
b) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
5x
2
x
3
+
2
Die Menge aller Zahlen, die man in den Funktionsterm einer Funktion f einsetzen darf, heißt Definitionsmenge der Funktion f.
  • Wenn von einem Punkt auf dem Graphen nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.
  • Wenn von einem Punkt auf dem Graphen nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.