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  • Inverse Matrix

    Die inverse Matrix zu einer quadratischen Matrix U wird mit U−1 bezeichnet.

    Das Produkt aus einer Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix, die in der Diagonale die Einträge 1 und ansonsten nur die Einträge 0 besitzt.

    Mit einer inversen Matrix können Zustandsverteilungen in der Vergangenheit berechnet werden, denn aus vk+1 = U · vk folgt: vk = U−1 · vk+1

Bestimme mit Hilfe der inversen Matrix die Verteilung des Vorjahres

Drei Mineralwasserfirmen Aquafit (A), Belaqua (B) und Classica (C) teilen die Marktanteile der Mineralwasserkunden unter sich auf. Immer wieder kommt es zu Marktverschiebungen. Diese sind durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,5
0,5
0
 
 
 
 
0
1
0
 
 
 
 
 
0,2
0,7
0,1
mit:
 
a
k
+
1
b
k
+
1
c
k
+
1
=
U
·
a
k
b
k
c
k
Im Jahr 2016 hatte Aquafit 25200 Kunden, Belaqua hatte 85700 Kunden und Classica 100 Kunden. Berechne den Kundenstamm ein Jahr vorher.
Im Jahr 2015 gab es:
 
Kunden bei Aquafit
 
Kunden bei Belaqua
 
Kunden bei Classica
  • Nebenrechnung

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Inverse Matrix

Die inverse Matrix zu einer quadratischen Matrix U wird mit U−1 bezeichnet.

Das Produkt aus einer Matrix und ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix, die in der Diagonale die Einträge 1 und ansonsten nur die Einträge 0 besitzt.

Mit einer inversen Matrix können Zustandsverteilungen in der Vergangenheit berechnet werden, denn aus vk+1 = U · vk folgt: vk = U−1 · vk+1

Beispiel
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme mit Hilfe der inversen Matrix die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.

Grenzverteilung und Grenzmatrix

Wenn sich ein stochastischer Prozess mit wachsender Zahl n an Wiederholungen stabilisiert, so erreicht der stochastische Prozess eine Grenzverteilung g, die sich durch Multiplikation mit der Übergangsmatrix U nicht mehr ändert, d.h.:

U·g = g

Das Grenzverhalten wird auch durch die Grenzmatrix G beschrieben. Die Grenzmatrix wird mit dem GTR berechnet, indem für immer größer werdende n die Potenzen Un der Übergangsmatrix berechnet werden, bis sich ein stabilisierender Effekt ablesen lässt.

Das Grenzverhalten ist vom Startvektor abhängig, wenn der stochastische Prozess absorbierende Zustände enthält. Ansonsten gibt es nur genau eine Grenzverteilung.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess ist gegeben durch Übergangsmatrix U und Startzustand
 
v
0
U
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
v
0
=
1
0
Bestimme die Grenzmatrix G und die Grenzverteilung
 
g
 
:
G
=
?
g
=
?
Beispiel 2
Überprüfe, ob die gegebenen Verteilungen Grenzverteilungen der Matrix U sind:
U
=
0,5
0,2
0,3
 
 
 
0,1
0,9
0
 
 
 
 
0
0,4
0,6
g
1
=
0,254254
0,189111
0,556635
g
2
=
0,148148
0,740741
0,111111

Matrizen-Multiplikation

Zwei quadratische Matrizen können miteinander multipliziert werden. Das Ergebnis ist wieder eine quadratische Matrix.

Zum Multiplizieren zweier Matrizen müssen die Zeilenvektoren der ersten Matrix mit den Spaltenvektoren der zweiten Matrix multipliziert werden. Der Eintrag in der m-ten Zeile und n-ten Spalte der Produktmatrix ist das Ergebnis des Skalarprodukts aus Zeile m der ersten Matrix und Spalte n der zweiten Matrix.

Spezialfall: Insbesondere können auch Potenzen einer quadratischen Matrix berechnet werden. Dies wird bei der Berechnung von Zustandsverteilungen interessant.

Es gilt: Die Potenz einer stochastischen Matrix ist wieder eine stochastische Matrix.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess ist gegeben durch Übergangsmatrix U und Startzustand
 
v
0
U
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
v
0
=
1
0
Bestimme die Zustandsverteilung
 
v
3
 
auf zwei Methoden.
Beispiel 2
Berechne die Produktmatrix aus A und B:
A
=
0,3
0,7
 
 
 
0,4
0,6
B
=
0,2
0,8
 
 
 
0,1
0,9
A
·
B
=
?